|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Hoeveel procent korting krijg je?
A en B spelen tegen elkaar met 2 stenen, onder de voorwaarde dat A zal winnen als hij 6 ogen gooit (in totaal), maar B zal winnen als hij 7 ogen gooit. A zal eerst een worp gooien; daarna B twee worpen achter elkaar, dan weer A 2 worpen; en zo verder tot dat de een of de ander zal winnen. De vraag is in welke verhouding de kans stat van A tot B.
Volgens mij kun je tot het oneindige door gaan om het antwoord te berekenen.
Ik ben begonnen met:
Kans van A om 6 te gooien is
5/36
De kans van B is dan 31/36·1/6 + 31/36·1/6·185/216
185/216 is 1-(31/36·1/6)
Maar dan de vraag hoe ga ik verder?
Bij voorbaat hartelijk dank.
Rens
Antwoord
Ik ga er vanuit dat je met "een worp gooien" bedoelt "een worp van beide stenen".
De kans dat A 6 werpt in zijn eerste beurt is 5/36.
De kans dat A 6 werpt in om het even welke beurt waarin hij 2 maal probeert, is 5/36 + (1-5/36)·5/36 = 335/1296 = p
De kans dat B 7 werpt in om het even welke beurt waarin hij 2 maal probeert, is 1/6 + (1-1/6)·1/6 = 11/36 = q
De kans dat A wint is
= 5/36 + 31/36·(1-q)·p + 31/36·(1-q)^2·(1-p)·p + 31/36·(1-q)^3·(1-p)^2·p + ...
= 5/36 + [31/36·(1-q)·p]·[1+(1-p)(1-q)+(1-p)^2(1-q)^2+...]
= 5/36 + [31/36·(1-q)·p]/[1-(1-p)(1-q)]
De kans dat B wint is
= 31/36·q + 31/36·(1-p)·(1-q)·q + 31/36·(1-p)^2·(1-q)^2·q + ...
= 31/36·q·[1+(1-p)(1-q)+(1-p)^2(1-q)^2+...]
= 31/36·q/[1-(1-p)(1-q)]
Teken desnoods een "kansboom" om jezelf hiervan te overtuigen. De oneindige som die twee maal optreedt is een meetkundige reeks. Ze houdt verband met het feit dat als A nog niet wint en B nog niet wint, je weer in dezelfde situatie zit als voor hun poging.
Vullen we de waarden van p en q in dan is
P[A wint] = 10355/22631 en
P[B wint] = 12276/22631.
Zoals het hoort in P[A wint]+P[B wint]=1.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
